令 $G(x) = 1 - F(x) = P\Bqty{W(t) > x}$,

则 $G(0) = 1$, 并且 $G(x)$ 是单调不增的右连续函数.

代入定理 2.3.2, 得

于是有

两端对 $x$ 求导, 得

令 $x= 0$, $\lambda = -G'_x(0)$, 则

于是由定理 2.2.1 知 $\Bqty{N(t), t \ge 0}$ 为 Poisson 过程.